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Text File  |  1989-02-09  |  2KB  |  45 lines
  1.                         PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 2
  2.                                         
  3. This slide show consists of graphs of numerical solutions of a particular
  4. partial differential equation, viz. the wave equation
  5.  
  6.                               U  +  U  = 0,
  7.                                t     x
  8.  
  9. with an initial condition of a step function.  The weak solution to this problem
  10. consists of an initial profile moving with speed 1 to the right.
  11.  
  12. The numerical approximation is given by the following iterative map
  13.  
  14.       u*(i) = u(i) - ½∙L∙[u(i+1) - u(i-1)] + σ∙[u(i+1) - 2u(i) + u(i-1)],
  15.  
  16. where L = t/x is called the Courant number (and is usually denoted by lambda),
  17. and σ is the numerical diffusion.  Consistency and stability of the above
  18. numerical scheme require 0 < L ≤ 1,  L² ≤ σ ≤ 1.
  19.  
  20. In the demonstrations, x is set to 1, and the following values of L and σ were
  21. used
  22.  
  23.                     σ =  0   (central)
  24.                     σ = -L   (downwind)
  25.                     σ =  1   (Lax-Friedrichs)
  26.                     σ =  L   (upwind)
  27.                     σ =  L²  (Lax-Wendroff).
  28.  
  29. L is 0.8, 1.0, or 1.2, and is shown on the appropriate slide with the initial
  30. conditions.
  31.  
  32. The demonstration illustrates notions of stability, accuracy, numerical
  33. diffusion (e.g. damping), and numerical dispersion (e.g. phase errors).
  34.  
  35. When viewing the slides, the following keys are operational:
  36.  
  37. HOME      takes you to the first slide in the sequence you selected
  38. END       takes you to the last slide in the sequence you selected
  39. UP ARROW  takes you to the previous slide in the sequence you selected
  40. F9        immediately quits the program
  41.  
  42. These keys do NOT operate like that while you are reading this document.
  43.  
  44. When you have finished reading this document, press Q to quit.
  45.